微积分演示总结
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本次演示包含两个主要内容：

1. 煤炭燃烧热辐射微积分计算
2. 地球表面积微积分求解

一、煤炭燃烧热辐射计算
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核心数学模型：
- 温度衰减: T(t) = T₀e^(-kt)
- 辐射功率: P(t) = εσAT₀⁴e^(-4kt)  
- 总能量积分: E = ∫₀ᵗ P(τ)dτ = εσAT₀⁴/(4k)[1-e^(-4kt)]

微积分应用：
1. 微分: 计算功率变化率 dP/dt = -4kεσAT₀⁴e^(-4kt)
2. 积分: 求解总辐射能量的解析解
3. 数值验证: 梯形积分法验证解析解(误差<0.0001%)

物理结果：
- 初始功率: 22,964 W
- 50秒总辐射能量: 57,409 J
- 功率衰减时间常数: 2.5秒
- 能量辐射效率: 接近100%

二、地球表面积微积分求解
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四种微积分方法：

方法1: 球坐标系二重积分
- dS = r²sin(θ)dθdφ
- S = ∫₀^π ∫₀^2π r²sin(θ)dθdφ = 4πr²

方法2: 旋转曲面积分
- 半圆绕轴旋转生成球面
- S = 2πr² ∫₀^π sin(θ)dθ = 4πr²

方法3: 参数曲面积分
- 使用向量叉积计算面积微元
- |∂r⃗/∂θ × ∂r⃗/∂φ| = r²sin(θ)

方法4: 直角坐标系积分
- 通过偏导数计算曲面面积
- 极坐标变换简化计算

数学推导结果：
- 所有方法得到相同解析解: S = 4πr²
- 地球表面积: 510,064,472 km²
- 数值验证误差 < 0.01%

微积分核心概念总结：
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1. 微元选择: 根据坐标系选择合适的面积微元
2. 积分区域: 确定参数的取值范围  
3. 坐标变换: 不同坐标系间的灵活转换
4. 分离变量: 将二重积分分解为单积分乘积
5. 几何直观: 理解积分的几何意义
6. 数值验证: 用数值方法验证解析解的正确性

文件清单：
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- coal_radiation.py - 煤炭燃烧热辐射计算
- coal_radiation_accurate.py - 精确版本计算
- coal_radiation_theory.md - 数学推导文档
- earth_surface_area.py - 地球表面积基础计算
- earth_surface_methods.py - 多种方法演示
- earth_surface_theory.md - 理论推导文档

这些演示完整展示了微积分在物理和几何问题中的实际应用，从建立数学模型到推导解析解，再到数值验证的全过程。